Dersin Adı: Reel Analiz II	Course Name: Real Analysis II

Kod (Code)	Yarıyıl (Semester)	Kredi (Local Credits)	AKTS Kredi (ECTS Credits)	Ders Uygulaması, Saat/Hafta (Course Implementation, Hours/Week)
				Ders (Theoretical)	Uygulama (Tutorial)	Laboratuvar (Laboratory)
MAT 437/E	6, 7, 8	3	6	3	0	0

Bölüm / Program (Department / Program)	Matematik / Matematik Mühendisliği (Mathematics / Mathematical Engineering)
Dersin Türü (Course Type)	Seçmeli (Elective)	Dersin Dili (Course Language)	Türkçe / İngilizce (Turkish / English)
Dersin Ön Koşulları (Course Prerequisites)	MAT272-E / MAT288-E min DD

Dersin Mesleki Bileşene Katkısı, % (Course Category by Content, %)	Temel Bilim ve Matematik (Basic Sciences and Math)	Temel Mühendislik (Engineering Science)	Mühendislik / Mimarlık Tasarım (Engineering / Architecture Design)	Genel Eğitim (General Education)
	100	-	-	-

Dersin Tanımı (Course Description)	Ölçü Kavramı. Düzlemde ve R^n de Ölçülebilir Cümleler. Dış ve İç Ölçü Fonksiyonları. Genel Ölçü. Ölçü Fonksiyonunun Genişletirilmesi. Ölçülebilir Cümlelerin Özellikleri. Cantor Ve Borel Cümleleri. Ölçülebilir Fonksiyonlar. Lebesgue İntegrali. Lebesgue İntegralinin Özellikleri. Yakınsaklık Kavramları. Lebesgue Ve Riemann İntegrallerinin Karşılaştırılması. Lebesgue, Fatou ve Levi Teoremleri. Çarpım Ölçüsü. Çarpım Uzaylarında Lebesgue İntegrali. Fubini Teoremi.
	The Concept of Measure. Measurable Sets on Plane and R^n . Inner and Outer Measure Functions. General Measure. The Extension of Measure Function. Properties of Measurable Sets. Cantor and Borel Sets. Measurable Functions. Lebesgue’s İntegral. The Properties of Lebesgue’s İntegral. The Notions of Convergence. Comparison of Lebesgue’s With Riemann’s İntegral. The Theorems of Lebesgue, Fatou And Levi. The Measure of Product. Lebesgue’s İntegral on Product Spaces. Fubini’s Theorem.
Dersin Amacı (Course Objectives)	Genel ölçü kavramını vermek. Riemann integrali genişlemesi olarak Lebesgue integralini vermek. Lebesgue integralinin özelliklerini öğretmek ve bunları matematiksel problemlere uygulama becerisi kazandırmak.
	To introduce the mathematical concept of measure. To introduce the Lebesgue integral as extension of the Riemann integral. To teach properties of Lebesgue integral and give ability to apply on mathematical problems.
Dersin Öğrenme Çıktıları (Course Learning Outcomes)	Bu dersi tamamlayan öğrenciler aşağıdaki becerileri elde eder: R^n’de ölçü kavramını ve ölçülebilir küme kavramlarını ve özelliklerini kullanarak problem çözebilir ve bunları matematik ispatlarda kullanabilir, Herhangi bir küme üzerinde yarı-halkadan genişletme yoluyla bir ölçü fonksiyonu inşa edebilir, Bir fonksiyonun ölçülebilirliğini kontrol edebilir, Lebesgue integralinin tanımını ve özelliklerini kullanarak integral hesaplayabilir, Lebesgue integraliyle ilgili yakınsaklık teoremlerini matematiksel ispat ve hesaplamalarda kullanabilir, İki katlı integrallerin yakınsaklığını kontrol edebilir ve Fubini yardımıyla bu integrallerin değerini hesaplayabilme becerilerini elde edebilir.
	Students completing this course will be able to: Use the concepts of measure in R^n and measurable sets and their properties for solving mathematical problems and use them in mathematical proofs, Define a general measure by defining it first on a semi-ring and then extending, Determine if a function is measurable, Evaluate integrals by using the definiton and the properties of the Lebesegue integral, Use convergence theorems for Lebesgue integrals in mathematical proofs and calculations, Check the convergence of double integrals and evaluate them by Fubini’s Theorem.

Hafta	Konular	Dersin Öğrenme Çıktıları
1	Ölçü Kavramı, Düzlemde ve R^n de Ölçülebilir Cümleler, Dış Ölçü Fonksiyonu	I
2	İç Ölçü Fonksiyonu, Genel Ölçü	I, II
3	Ölçü Fonksiyonunun Genişletilmesi	II
4	Çarpım Ölçü	III
5	Ölçülebilir Kümelerin Özellikleri, Cantor ve Borel Kümeleri	III, IV
6	Ölçülebilir Fonksiyonlar, Basit Fonksiyonlar	IV
7	Lebesgue İntegrali	IV
8	Lebesgue İntegralinin Özellikleri	IV
9	Lebesgue ve Riemann İntegrallerinin Karşılaştırılması	IV
10	Sonsuz Ölçülü Kümeler Üzerinde Lebesgue İntegrali	V
11	Yakınsaklık Kavramları, Lebesgue Teoremi	VI
12	Fatou ve Levi Teoremleri.	VI
13	Fubini Teoremi	VI
14	Örneklerle Tekrar	I, VI

Hafta

Konular

Dersin Öğrenme Çıktıları

Ölçü Kavramı, Düzlemde ve R^n de Ölçülebilir Cümleler, Dış Ölçü Fonksiyonu

İç Ölçü Fonksiyonu, Genel Ölçü

I, II

Ölçü Fonksiyonunun Genişletilmesi

Çarpım Ölçü

III

Ölçülebilir Kümelerin Özellikleri, Cantor ve Borel Kümeleri

III, IV

Ölçülebilir Fonksiyonlar, Basit Fonksiyonlar

Lebesgue İntegrali

Lebesgue İntegralinin Özellikleri

Lebesgue ve Riemann İntegrallerinin Karşılaştırılması

Sonsuz Ölçülü Kümeler Üzerinde Lebesgue İntegrali

Yakınsaklık Kavramları, Lebesgue Teoremi

Fatou ve Levi Teoremleri.

Fubini Teoremi

Örneklerle Tekrar

I, VI

Week	Topics	Course Learning Outcomes
1	The Concept of Measure, Measurable Sets on Plane and R^n, Outer Measure Function	I
2	Inner Measure Function, General Measure Theory	I, II
3	The Extension of Measure Function	II
4	Product Measure	III
5	Properties of Measurable Sets, Cantor and Borel Sets.	III, IV
6	Measurable Functions, Simple Functions	IV
7	Lebesgue’s İntegral	IV
8	The Properties of Lebesgue’s İntegral	IV
9	Comparison of Lebesgue’s with Riemann’s İntegral	IV
10	Lebesgue İntegral on Sets of İnfinite Measure.	V
11	The Notions of Convergence, Lebesgue’s Theorem	VI
12	The Theorems of Fatou And Levi	VI
13	Fubini’s Theorem	VI
14	Review with Examples	I, VI

Week

Topics

Course Learning Outcomes

The Concept of Measure, Measurable Sets on Plane and R^n, Outer Measure Function

Inner Measure Function, General Measure Theory

I, II

The Extension of Measure Function

Product Measure

III

Properties of Measurable Sets, Cantor and Borel Sets.

III, IV

Measurable Functions, Simple Functions

Lebesgue’s İntegral

The Properties of Lebesgue’s İntegral

Comparison of Lebesgue’s with Riemann’s İntegral

Lebesgue İntegral on Sets of İnfinite Measure.

The Notions of Convergence, Lebesgue’s Theorem

The Theorems of Fatou And Levi

Fubini’s Theorem

Review with Examples

I, VI

	Programın Mezuna Kazandıracağı Bilgi ve Beceriler (Programa Ait Çıktılar)	Katkı Seviyesi
1	Mühendislik, fen ve matematik ilkelerini uygulayarak karmaşık mühendislik problemlerini belirleme, formüle etme ve çözme becerisi.			X
2	Küresel, kültürel, sosyal, çevresel ve ekonomik etmenlerle birlikte özel gereksinimleri sağlık, güvenlik ve refahı göz önüne alarak çözüm üreten mühendislik tasarımı uygulama becerisi.
3	Farklı dinleyici gruplarıyla etkili iletişim kurabilme becerisi.
4	Mühendislik görevlerinde etik ve profesyonel sorumlulukların farkına varma ve mühendislik çözümlerinin küresel, ekonomik, çevresel ve toplumsal bağlamdaki etkilerini göz önünde bulundurarak bilinçli kararlar verme becerisi.	X
5	Üyeleri birlikte liderlik sağlayan, işbirlikçi ve kapsayıcı bir ortam yaratan, hedefler belirleyen, görevleri planlayan ve hedefleri karşılayan bir ekipte etkili bir şekilde çalışma yeteneği becerisi.
6	Özgün deney geliştirme, yürütme, verileri analiz etme ve yorumlama ve sonuç çıkarmak için mühendislik yargısını kullanma becerisi.		X
7	Uygun öğrenme stratejileri kullanarak ihtiyaç duyulduğunda yeni bilgi edinme ve uygulama becerisi.			X

Programın Mezuna Kazandıracağı Bilgi ve Beceriler (Programa Ait Çıktılar)

Katkı Seviyesi

Mühendislik, fen ve matematik ilkelerini uygulayarak karmaşık mühendislik problemlerini belirleme, formüle etme ve çözme becerisi.

Küresel, kültürel, sosyal, çevresel ve ekonomik etmenlerle birlikte özel gereksinimleri sağlık, güvenlik ve refahı göz önüne alarak çözüm üreten mühendislik tasarımı uygulama becerisi.

Farklı dinleyici gruplarıyla etkili iletişim kurabilme becerisi.

Mühendislik görevlerinde etik ve profesyonel sorumlulukların farkına varma ve mühendislik çözümlerinin küresel, ekonomik, çevresel ve toplumsal bağlamdaki etkilerini göz önünde bulundurarak bilinçli kararlar verme becerisi.

Üyeleri birlikte liderlik sağlayan, işbirlikçi ve kapsayıcı bir ortam yaratan, hedefler belirleyen, görevleri planlayan ve hedefleri karşılayan bir ekipte etkili bir şekilde çalışma yeteneği becerisi.

Özgün deney geliştirme, yürütme, verileri analiz etme ve yorumlama ve sonuç çıkarmak için mühendislik yargısını kullanma becerisi.

Uygun öğrenme stratejileri kullanarak ihtiyaç duyulduğunda yeni bilgi edinme ve uygulama becerisi.

	Program Student Outcomes	Level of Contribution
1	An ability to identify, formulate, and solve complex engineering problems by applying principles of engineering, science, and mathematics.			X
2	An ability to apply engineering design to produce solutions that meet specified needs with consideration of public health, safety, and welfare, as well as global, cultural, social, environmental, and economic factors.
3	An ability to communicate effectively with a range of audiences.
4	An ability to recognize ethical and professional responsibilities in engineering situations and make informed judgments, which must consider the impact of engineering solutions in global, economic, environmental, and societal contexts.	X
5	An ability to function effectively on a team whose members together provide leadership, create a collaborative and inclusive environment, establish goals, plan tasks, and meet objectives.
6	An ability to develop and conduct appropriate experimentation, analyze and interpret data, and use engineering judgment to draw conclusions.		X
7	An ability to acquire and apply new knowledge as needed, using appropriate learning strategies.			X

Program Student Outcomes

Level of Contribution

An ability to identify, formulate, and solve complex engineering problems by applying principles of engineering, science, and mathematics.

An ability to apply engineering design to produce solutions that meet specified needs with consideration of public health, safety, and welfare, as well as global, cultural, social, environmental, and economic factors.

An ability to communicate effectively with a range of audiences.

An ability to recognize ethical and professional responsibilities in engineering situations and make informed judgments, which must consider the impact of engineering solutions in global, economic, environmental, and societal contexts.

An ability to function effectively on a team whose members together provide leadership, create a collaborative and inclusive environment, establish goals, plan tasks, and meet objectives.

An ability to develop and conduct appropriate experimentation, analyze and interpret data, and use engineering judgment to draw conclusions.

An ability to acquire and apply new knowledge as needed, using appropriate learning strategies.

Ders Kitabı (Textbook)	Halsey Royden, 1988, Real Analysis, Prentice Hall, ISBN:0024041513
Diğer Kaynaklar (Other References)	A.N. Kolmogorov, S. V. Fomin, 2000, Introductory Real Analysis, Dover Publications, ISBN:0486612260 H.S.Bear, 2001, A Primer of Lebesgue Integration, Academic Press, ISBN:0120839717 Paul R. Halmos, 1978, Measure Theory, Springer, ISBN:0387900888

Ödevler ve Projeler (Homework & Projects)	-
	-
Laboratuvar Uygulamaları (Laboratory Work)	-
	-
Bilgisayar Kullanımı (Computer Usage)	-
	-
Diğer Uygulamalar (Other Activities)	-
	-

Başarı Değerlendirme Sistemi (Assessment Criteria)	Faaliyetler (Activities)	Adet (Quantity)	Genel Nota Katkı, % (Effects on Grading, %)
	Yıl İçi Sınavları (Midterm Exams)	-	-
	Kısa Sınavlar (Quizzes)	-	-
	Ödevler (Homework)	-	-
	Projeler (Projects)	-	-
	Dönem Ödevi/Projesi (Term Paper/Project)	-	-
	Laboratuvar Uygulaması (Laboratory Work)	-	-
	Diğer Uygulamalar (Other Activities)	-	-
	Final Sınavı (Final Exam)	1	100

DERS PROGRAMI FORMU
COURSE SYLLABUS FORM

Ders Planı

Course Plan

Dersin Mühendislik Öğrenci Çıktılarıyla İlişkisi

Relationship of the Course to Engineering Student Outcomes