Responsive image
DERS PROGRAMI FORMU
COURSE SYLLABUS FORM
Son Güncelleme (Last Update)
23.02.2022
Dersin Adı: Varyasyonlar Hesabı Course Name: Variational Calculus
Kod
(Code) 		Yarıyıl
(Semester)		 Kredi
(Local Credits)		 AKTS Kredi
(ECTS Credits)		 Ders Uygulaması, Saat/Hafta
(Course Implementation, Hours/Week)
Ders
(Theoretical) 		Uygulama
(Tutorial)		 Laboratuvar
(Laboratory)
MAT 365/E 6,7,8 3 6 3 0 0
Bölüm / Program
(Department / Program)		 Matematik / Matematik Mühendisliği
(Mathematics / Mathematical Engineering)
Dersin Türü
(Course Type)		 Seçmeli
(Elective) 		Dersin Dili
(Course Language) 		İngilizce
(English)
Dersin Ön Koşulları
(Course Prerequisites)		 MAT201 / MAT201 - E / MAT232 / MAT232 - E / MAT210 / MAT210 - E min DD
Dersin Mesleki Bileşene Katkısı, %
(Course Category by Content, %)		 Temel Bilim ve Matematik
(Basic Sciences and Math)		 Temel Mühendislik
(Engineering Science)		 Mühendislik / Mimarlık Tasarım
(Engineering / Architecture Design)		 Genel Eğitim
(General Education)
50 50 - -
Dersin Tanımı
(Course Description)		 Fonksiyoneller; Sürekli, Alttan ve Üstten Yarı-sürekli Fonksiyoneller. Diferansiyellenebilen Fonksiyoneller. Bir Fonksiyonelin Frechet ve Gateax Diferansiyeli. Tek Değişkenli ve Çok Değişkenli Optimizasyon, Eşlenik Fonksiyonlar. Zayıf ve Kuvvetli Ekstremum. Ekstremum İçin Gerek Koşul. İntegral Tipindeki Fonksiyoneller; Bir Değişkenli Fonksiyonellerde Ekstremum İçin Gerek Koşul, Euler - Lagrange Denklemi. Pontryagin Maksimum İlkesi ve Varyasyon Hesabı. Çok Değişkenli Fonksiyonellerde Ekstremum İçin Gerek Koşullar, Bir Yüzeyin Jeodezikleri. Parametrik Formda Varyasyon Problemleri. Euler denkleminin Kanonik Formu. İzoperimetri Problemleri. Serbest Uç Noktalar Problemi. Köşe Noktalarına Sahip Ekstremaller. Transversalite Koşulları. Ekstremum İçin Yeter Koşullar. Jacobi Koşulu, Weierstrass Fonksiyonu.
Functionals; Continuous, Lower and Upper Semicontinuous Functionals. Differentiable Functionals. Frechet and Gateax Differential of a Functional. Single Variable and Multivariable Optimization, Conjugate Functions. Weak and Strong Extremum. A Necessary Condition For An Extremum. Integral Types Functionals; A Necessary Condition of Extremum For Single Variable Functionals, Euler- Lagrange Equation. Pontryagin’s Maximum Principle and Variation Calculus. A Necessary Condition for Multivariable Functionals, Geodesics of Surface. Variational Problems in Parametric Form. The Canonical Form of The Euler Equation. Isoperimetric Problems. Variable Endpoint Problem. Broken Extremals. Transversality Conditions. Sufficient Conditions For An Extremum. Jacobi’s Condition, Weierstrass Function.
Dersin Amacı
(Course Objectives)
  1. Varyasyonlar hesabının temel teorisini ve uygulamalarını öğretmek.
  1. To teach the basic theory and applications of the calculus of variations.
Dersin Öğrenme Çıktıları
(Course Learning Outcomes)		 Bu dersi tamamlayan öğrenciler aşağıdaki becerileri elde eder:
  1. Fonksiyonellerin sürekliliği ve diferansiyelenebilmesini öğrenebilir,
  2. Zayıf ve kuvvetli ekstremumlar için gerek koşulları öğrenebilir,
  3. Bir fonksiyonelin genel varyasyonunu öğrenebilir,
  4. Euler denklemlerinin kanonik formunu ve ilgili konuları öğrenebilir,
  5. Standart tipten izoperimetri problemlerinin çözümünü ve yüzeylerin jeodeziklerinin bulunmasını öğrenebilir,
  6. İkinci varyasyon. Zayıf ve kuvvetli ekstremumlar için yeter koşulları öğrenebilir,
  7. Çok katlı integralleri içeren varyasyonel problemlerin çözümlerini öğrenebilir.
Students completing this course will be able to:
  1. Learn continuity and differentiability of functionals,
  2. Learn necessary conditions for a weak extremum and a strong extremum,
  3. Learn the general variation of a functional,
  4. Learn the canonical form of the Euler equations and related topics,
  5. Learn the solution of standart type isoperimetric problems, and finding geodesics of a surface,
  6. Learn the second variation, sufficient conditions for a weak extremum and a strong extremum,
  7. Learn variational problems involving multiple integral.
Ders Planı
Hafta Konular Dersin Öğrenme Çıktıları
1Teorinin TemelleriI
2Teorinin TemelleriI, II
3Genelleştirmeler, Ödev 1II, III
4Bir Fonksiyonelin Genel VaryasyonuIII
5Tek Değişkenli ve Çok Değişkenli Optimizasyon, Eşlenik Fonksiyonlar, Ödev 2III
6Euler Denklemlerinin Kanonik Formu ve İlgili KonularıIV
7Pontryagin Maksimum İlkesi ve Varyasyon Hesabı, Ödev 3IV
8Euler Denklemlerinin Kanonik Formunu ve İlgili Konuları, ArasınavIV
9İkinci Varyasyon, Zayıf Ekstremum İçin Yeter KoşullarV
10İkinci Varyasyon, Zayıf Ekstremum İçin Yeter Koşullar, Ödev 4V
11Kuvvetli Ekstremum İçin Yeter KoşullarVI
12Kuvvetli Ekstremum İçin Yeter Koşullar, Ödev 5VI
13Çok Katlı İntegralleri İçeren Varyasyonel ProblemlerVII
14Çok Katlı İntegralleri İçeren Varyasyonel ProblemlerVII
Course Plan
Week Topics Course Learning Outcomes
1Elements of The TheoryI
2Elements of The TheoryI, II
3Further Generalizations, Homework 1II, III
4The General Variation of A FunctionalIII
5Single Variable and Multivariable Optimization, Conjugate Functions, Homework 2III
6The Canonical Form of The Euler Equations and Related TopicsIV
7Pontryagin’s Maximum Principle and Variation Calculus, Homework 3IV
8The Canonical Form of The Euler Equations and Related Topics, Midterm ExamIV
9The Second Variation, Sufficient Conditions for A Weak ExtremumV
10The Second Variation, Sufficient Conditions for A Weak Extremum, Homework 4V
11Sufficient Conditions For a Strong ExtremumVI
12Sufficient Conditions For a Strong Extremum, Homework 5VI
13Variational Problems Involving Multiple IntegralsVII
14Variational Problems Involving Multiple IntegralsVII



Dersin Mühendislik Öğrenci Çıktılarıyla İlişkisi

Programın Mezuna Kazandıracağı Bilgi ve Beceriler (Programa Ait Çıktılar) Katkı Seviyesi
1 2 3
1 Mühendislik, fen ve matematik ilkelerini uygulayarak karmaşık mühendislik problemlerini belirleme, formüle etme ve çözme becerisi. X
2 Küresel, kültürel, sosyal, çevresel ve ekonomik etmenlerle birlikte özel gereksinimleri sağlık, güvenlik ve refahı göz önüne alarak çözüm üreten mühendislik tasarımı uygulama becerisi. X
3 Farklı dinleyici gruplarıyla etkili iletişim kurabilme becerisi. X
4 Mühendislik görevlerinde etik ve profesyonel sorumlulukların farkına varma ve mühendislik çözümlerinin küresel, ekonomik, çevresel ve toplumsal bağlamdaki etkilerini göz önünde bulundurarak bilinçli kararlar verme becerisi. X
5 Üyeleri birlikte liderlik sağlayan, işbirlikçi ve kapsayıcı bir ortam yaratan, hedefler belirleyen, görevleri planlayan ve hedefleri karşılayan bir ekipte etkili bir şekilde çalışma yeteneği becerisi. X
6 Özgün deney geliştirme, yürütme, verileri analiz etme ve yorumlama ve sonuç çıkarmak için mühendislik yargısını kullanma becerisi. X
7 Uygun öğrenme stratejileri kullanarak ihtiyaç duyulduğunda yeni bilgi edinme ve uygulama becerisi. X
Ölçek: 1: Az, 2: Kısmi, 3: Tam

Relationship of the Course to Engineering Student Outcomes

Program Student Outcomes Level of Contribution
1 2 3
1 An ability to identify, formulate, and solve complex engineering problems by applying principles of engineering, science, and mathematics. X
2 An ability to apply engineering design to produce solutions that meet specified needs with consideration of public health, safety, and welfare, as well as global, cultural, social, environmental, and economic factors. X
3 An ability to communicate effectively with a range of audiences. X
4 An ability to recognize ethical and professional responsibilities in engineering situations and make informed judgments, which must consider the impact of engineering solutions in global, economic, environmental, and societal contexts. X
5 An ability to function effectively on a team whose members together provide leadership, create a collaborative and inclusive environment, establish goals, plan tasks, and meet objectives. X
6 An ability to develop and conduct appropriate experimentation, analyze and interpret data, and use engineering judgment to draw conclusions. X
7 An ability to acquire and apply new knowledge as needed, using appropriate learning strategies. X
Scale: 1: Little, 2: Partial, 3: Full

Tarih (Date)
01.04.2019
Bölüm Onayı (Departmental Approval)
Matematik Bölümü
(Department of Mathematics)




Ders Kaynakları ve Başarı Değerlendirme Sistemi (Course Materials and Assessment Criteria)

Ders Kitabı
(Textbook) 		Calculus of Variation, I.M. Gelfand, S. V. Fomin, Dover Publications, 2000.
Diğer Kaynaklar
(Other References) 		Calculus of Variations I, Mariano Giaquinta, Stefan Hildebrandt, Springer Verlag, 2004.
Ödevler ve Projeler
(Homework & Projects)		 -
-
Laboratuvar Uygulamaları
(Laboratory Work)		 -
-
Bilgisayar Kullanımı
(Computer Usage)		 -
-
Diğer Uygulamalar
(Other Activities)		 -
-
Başarı Değerlendirme Sistemi
(Assessment Criteria) 		Faaliyetler
(Activities)		 Adet
(Quantity)		 Genel Nota Katkı, %
(Effects on Grading, %)
Yıl İçi Sınavları
(Midterm Exams)		 1 40
Kısa Sınavlar
(Quizzes)		 - -
Ödevler
(Homework)		 2 20
Projeler
(Projects)		 - -
Dönem Ödevi/Projesi
(Term Paper/Project)		 - -
Laboratuvar Uygulaması
(Laboratory Work)		 - -
Diğer Uygulamalar
(Other Activities)		 - -
Final Sınavı
(Final Exam)		 1 40
VF almamak için gereken
(To avoid VF) 		-